Chứng minh định lý ceva

Định lý Ceva là trong những định lý đặc biệt quan trọng và rất hay được dùng trong những bài toán hình học tập phẳng. Vậy định lý Ceva là gì? Cách chứng tỏ định lý Ceva lớp 8? bài xích tập định lý Ceva Menelaus?… vào nội dung bài viết dưới đây, kftvietnam.com để giúp bạn tổng hợp kỹ năng về chủ thể này nhé!

Định lý Ceva là gì?

Định nghĩa về Ceva

Định lý Ceva là 1 trong định lý phổ cập trong hình học tập cơ bản, được phát biểu như sau:

Khi ta đến tam giác ( ABC ) và các điểm ( D,E,F ) thứu tự nằm trên các cạnh ( BC,CA,AB ). Khi ấy thì những đường thẳng ( AD,BE,CF ) đồng quy khi và chỉ khi: (fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

Chứng minh định lý Ceva

Giả sử ta đã có ( AD,BE,CF ) đồng quy trên điểm ( O )

Khi kia ta tất cả :

(fracS_Delta AOFS_Delta BOF = fracFAFB) vì cùng chung đường cao hạ trường đoản cú ( O ) xuống ( AB )

Tương tự : (fracS_Delta ACFS_Delta BCF = fracFAFB) vì chưng cùng chung đường cao hạ từ ( C ) xuống ( AB )

Từ đó (Rightarrow fracFAFB = fracS_Delta ACFS_Delta BCF = fracS_Delta AOFS_Delta BOF = fracS_Delta ACF -S_Delta AOF S_Delta BCF-S_Delta BOF=fracS_Delta AOCS_Delta BOC)

Tương tự thì ta có:

(fracDBDC =fracS_Delta ABOS_Delta ACO)

(fracECEA =fracS_Delta BOCS_Delta AOB)

Vậy (Rightarrow fracDBDC.fracECEA.fracFAFB= fracS_Delta AOCS_Delta BOC. fracS_Delta ABOS_Delta ACO. fracS_Delta BOCS_Delta AOB=1)

Vậy ta có điều đề xuất chứng minh.

Bạn đang xem: Chứng minh định lý ceva

Chứng minh định lý Ceva đảo

Giả sử ta đã có những điểm ( D,E,F ) thỏa mãn (fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

Gọi ( O ) là giao điểm của ( AD,BE ) và ( F’ ) là giao điểm của ( AB,CO )

Theo phần thuận chứng tỏ ở bên trên thì ta tất cả :

(fracDBDC.fracECEA.fracF’AF’B=1)

Kết phù hợp với giả thiết (Rightarrow fracFAFB=fracF’AF’B)

(Leftrightarrow fracFAFB+1=fracF’AF’B+1)

(Leftrightarrow fracABFB=fracABF’B Leftrightarrow F’B=FB)

Vậy (Fequiv F’) hay có thể nói thì ( AD,BE,CF ) đồng quy

Như vậy ta đã minh chứng được cả hai phía của Đ/L Ceva. Trong một số bài toán, bọn họ cần vận dụng linh hoạt cả chiều thuận cũng tương tự chiều đảo của định lý để xử lý bài toán nhanh gọn.

Ví dụ về định lý Ceva

Cho tam giác ( ABC ) và điểm ( O ) bên trong tam giác. Những đường thẳng ( AO, BO, teo ) theo thứ tự cắt các cạnh ( BC, CA, AB) tại ( A_1, B_1, C_1 ). Điểm ( O_1 ) nằm trong tam giác ( A_1B_1C_1 ). Các đường trực tiếp ( AO_1, BO_1, CO_1 ) theo thứ tự cắt những cạnh ( B_1C_1, C_1A_1, A_1B_1 ) trên ( A_2, B_2, C_2 ). Chứng tỏ các đường thẳng ( A_1A_2, B_1B_2, C_1C_2 ) đồng quy.

Cách giải:

Ta có:

(fracA_2B_1A_2C_1=fracS_Delta A_2AB_1S_Delta A_2AC_1) vày cùng mặt đường cao hạ từ ( A ) xuống ( B_1C_1 )

(fracA_2B_1A_2C_1=fracS_Delta A_2O_1B_1S_Delta A_2O_1C_1) bởi cùng con đường cao hạ trường đoản cú ( O_1 ) xuống ( B_1C_1 )

Vậy (Rightarrow fracA_2B_1A_2C_1=fracS_Delta A_2AB_1S_Delta A_2AC_1 = fracS_Delta A_2O_1B_1S_Delta A_2O_1C_1 = fracS_Delta A_2AB_1+S_Delta A_2O_1B_1S_Delta A_2AC_1+S_Delta A_2O_1C_1=fracS_Delta O_1AB_1S_Delta O_1AC_1)

Tương tự ta cũng có:

(fracB_2C_1B_2A_1=fracS_Delta O_1BC_1S_Delta O_1BA_1)

(fracC_2A_1C_2A_1=fracS_Delta O_1CA_1S_Delta O_1CB_1)

Như vậy ta được:

(fracA_2B_1A_2C_1 . fracB_2C_1B_2A_1 . fracC_2A_1C_2B_1 =fracS_Delta O_1AB_1S_Delta O_1AC_1. fracS_Delta O_1BC_1S_Delta O_1BA_1. fracS_Delta O_1CA_1S_Delta O_1CB_1 )

( =fracS_Delta O_1CA_1S_Delta O_1BA_1. fracS_Delta O_1AB_1S_Delta O_1CB_1. fracS_Delta O_1BC_1S_Delta O_1AC_1=fracA_1CA_1B. fracB_1AB_1C. fracC_1BC_1A)

Mặt khác xét tam giác ( ABC ) gồm ( AA_1,BB_1,CC_1 ) đồng quy trên ( O ) buộc phải theo định lý Ceva ta gồm :

(fracA_1BA_1C. fracB_1CB_1A. fracC_1AC_1B=1)

Như vậy ta tất cả :

(fracA_2B_1A_2C_1 . fracB_2C_1B_2A_1 . fracC_2A_1C_2B_1 =fracA_1BA_1C. fracB_1CB_1A. fracC_1AC_1B=1)

Theo Đ/L Ceva hòn đảo với tam giác ( A_1B_1C_1 ) và những điểm ( A_2,B_2,C_2 ) thì suy ra những đường thẳng ( A_1A_2,B_1B-2,C_1,C_2 ) đồng quy

Vậy ta có điều buộc phải chứng minh.

Định lý Ceva dạng lượng giác

Một dạng khác của ĐL Ceva đó là định lý Ceva dạng lượng giác tốt định lý Ceva dạng sin. Ceva dạng lượng giác thường được áp dụng cho tía đường trực tiếp mà những điểm khác đỉnh của tam giác không nằm trên các cạnh của tam giác đó. Định lý được phát biểu như sau:

Cho tam giác ( ABC ). Hotline ( M, N, p. ) là tía điểm tương xứng nằm trên cha cạnh ( BC, CA, AB ) của tam giác. Lúc đó, cha đường thẳng ( AM, BN, CP ) đồng quy khi còn chỉ khi ( fracsin widehatMABsin widehatMAC.fracsin widehatNBCsin widehatNBA.fracsin widehatPCAsin widehatPCB=1 )

Chứng minh:

Áp dụng định lý ( sin ) cho các tam giác ( ABM ) cùng ( ACM ) ta bao gồm :

( BM=fracABsin widehatMABsin widehatAMB )

( MC=fracACsin widehatMACsin widehatAMC )

Vì ( sin widehatAMB=sin widehatAMC ) đề nghị suy ra ( fracBMMC=fracABAC.fracsin widehatMABsin widehatMAC ;;;; (1) )

Tương trường đoản cú ( fracCNNA=fracBCAB.fracsin widehatNBCsin widehatNBA; fracAPPB=fracACBC.fracsin widehatPCAsin widehatPCB ;;;; (2) )

Ba con đường thẳng ( AM , BN, CP ) đồng quy phải theo định lý Ceva tất cả ( fracBMMC.fracCNNA.fracAPPB=1 ;;;; (3) )

Từ ( (1), (2) ) và ( (3) ) ta có

( fracsin widehatMABsin widehatMAC.fracsin widehatNBCsin widehatNBA.fracsin widehatPCAsin widehatPCB=1)

Ví dụ 1:

Cho tam giác (ABC) và tía đường trực tiếp (AD, BE,CF) đồng quy trên ( O ) cùng với ( D,E,F ) thứu tự nằm trên ( BC,CA,AB ). Call (X,Y,Z) theo lần lượt là hình chiếu của (D,E,F) lên (EF,FD,ED). Minh chứng rằng (AX,BY,CZ) đồng quy.

Cách giải:

Ta đang kí hiệu (D=widehatFDE, E=widehatFED, F=widehatDFE)

Ta có: (fracFXEX = fracS_AFXS_AEX=fracAF.AX.sin widehatFAXAE.AX.sin widehatEAX=fracAFAE.fracsin widehatFAXsin widehatEAX)

Mặt khác ta cũng có: (fracFXEX=frac an F.DX an E.DX=frac an F an E)

Từ kia suy ra:

(fracAFAE.fracsin widehatFAXsin widehatEAX=frac an F an E Leftrightarrow fracsin widehatFAXsin widehatEAX=frac an F an E.fracAEAF)

Làm tương tự như vậy với nhân lại, ta được:

(fracsin widehatFAXsin widehatEAX.fracsin widehatECZsin widehatDCZ.fracsin widehatDBYsin widehatFCY=1.fracAFBF.fracBDCD.fracCEAE)

Theo định lý Ceva mang lại tam giác ( ABC ), vị ( AD,BE,CF ) đồng quy yêu cầu ta có

(fracAFBF.fracBDCD.fracCEAE=1)

Như vậy ta được:

(fracsin widehatFAXsin widehatEAX.fracsin widehatECZsin widehatDCZ.fracsin widehatDBYsin widehatFCY=1)

Theo định lý Ceva dạng ( sin ) ta bao gồm ( AX,BY,CZ ) đồng quy.

Ứng dụng đồng thời định lý Ceva và Menelaus

Trong hình học tập phẳng thì nhị định lý này thường đi tuy nhiên hành. Một bài xích toán có thể áp dụng bên cạnh đó cả hai định lý này nhằm giải

Định lý Menelaus phát biểu như sau:

Cho tam giác ( ABC ) và những điểm ( D,E,F ) theo lần lượt nằm trên những đường thẳng ( BC,CA,AB ). Khi đó các điểm ( D,E,F ) thẳng sản phẩm khi còn chỉ khi

(fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

Ở trên đây ta phân biệt rằng : Nếu mang sử (fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1) thì tùy thuộc vào số điểm vị trí cạnh , đường thẳng đựng cạnh của tam giác màât tất cả định lý Ceva giỏi Menelaus.

Nếu cả ( 3 ) điểm ( D,E,F ) nằm trên tía cạnh của tam giác ( ABC ) thì ta có định lý Ceva.Nếu tất cả ( 2 ) điểm nằm ở cạnh cùng ( 1 ) điểm nằm trên phố thẳng chứa cạnh tuy thế nằm không tính tam giác ( ABC ) thì ta có định lý Menelaus.Nếu gồm ( 1 ) điểm nằm trên cạnh và ( 2 ) điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh nhưng nằm ngoại trừ tam giác ( ABC ) thì ta gồm định lý Ceva.Nếu cả ( 3 ) điểm ( D,E,F ) ở trên cha đường thẳng chứa cạnh và nằm xung quanh tam giác ( ABC ) thì ta bao gồm định lý Menelaus.

Chúng ta thường áp dụng định lý Ceva để suy ra tỉ số, sau đó biến hóa tỉ số kia rồi vận dụng định lý Menelaus để chứng minh yêu cầu bài toán hoặc ngược lại. Vày đó bọn họ cần linh hoạt sử dụng cả chiều thuận tương tự như chiều hòn đảo của nhị định lý này.

Xem thêm: Laptop Asus Có Bền Không ? Có Nên Mua Laptop Asus Không? Nên Mua Laptop Asus Sử Dụng Không

Ví dụ 2:

Cho tam giác ( ABC ) và ba điểm ( D,E,F ) nằm trong ( BC,CA,AB ) làm thế nào cho ( AD,BE,CF ) đồng quy. Đường trực tiếp ( EF ) giảm đường thẳng ( BC ) tại ( Q ) làm thế nào để cho ( Q ) trực thuộc nửa phương diện phẳng bờ ( AD ) đựng ( B ) . Chứng tỏ rằng (fracQBQC=fracDBDC)

Cách giải:

Áp dụng định lý Ceva mang lại tam giác ( ABC ) cùng với ( AD,BE,CF ) đồng quy ta có:

(fracDBDC.fracECEA.fracFAFB=1)

Áp dụng định lý Menelaus mang lại tam giác ( ABC ) cùng với ( E,F,Q ) thẳng mặt hàng ta có:

(fracQBQC.fracECEA.fracFAFB=1)

Từ kia (Rightarrow fracDBDC=fracQBQC)

Các dạng định lý Ceva mở rộng

Ngoài định lý Ceva trong tam giác mà bọn họ thường áp dụng thì có một số trong những dạng mở rộng của định lý Ceva mà họ cũng nên tìm hiểu để hoàn toàn có thể áp dụng vào một số bài toán.

Định lý ceva trong ko gian

Trong không khí cho tứ diện ( ABCD ). Call ( X,Y,Z,W ) theo lần lượt là tứ điểm nằm trên ( AB,BC,CD,DA ). Lúc đó ( 4 ) phương diện phẳng ( (AZB), (BWC), (CXD), (DYA) ) giảm nhau tại một điểm khi còn chỉ khi

(fracXAXB.fracYBYC.fracZCZD.fracWDWA=1)

Chứng minh:

Giả sử ( 4 ) khía cạnh phẳng trên giảm nhau trên điểm ( phường )

Gọi (A’=BZcap DY) với (C’=DXcap BW)

Khi kia thì ta có:

((AZB)cap (AYD)=AA’) cùng ( (CXD)cap (BWC)=CC’)

Như vậy ( P= AA’ cap CC’ ) với ( A,C,A,’C’ ) đồng phẳng

Gọi ( T= AC’ cap A’C ). Do

(left{eginmatrix AC’ in (ABD)\ A’C in (CBD)\ (ABD)cap (CBD)=BD endmatrix ight. Rightarrow T in BD)

Áp dụng định lý Ceva trong mặt phẳng cho những tam giác ( ABD, CBD ) ta được :

(fracWAWD.fracTDTB.fracXBXA=1)

(fracTBTD.fracZDZC.fracYCYB=1)

Nhân hai vế nhì đẳng thức trên ta được :

(fracXAXB.fracYBYC.fracZCZD.fracWDWA=1)

Định lý Ceva cho đa giác

Cho nhiều giác ( n ) cạnh ( A_1A_2…A_n ). đem ( n ) điểm ( B_1;B_2;…B_n ) làm thế nào để cho điểm ( B_i ) nằm trên đường chéo cánh (A_i-1A_i+1). Lúc đó các đường trực tiếp ( A_1B_1; A_2B_2; …; A_nB_n ) đồng quy khi và chỉ còn khi

(fracB_1A_nB_1A_2.fracB_2A_1B_2A_3….fracB_nA_n-1B_nA_1=1)

Chứng minh nhờ vào tỉ lệ diện tích giống như cách chứng tỏ định lý Ceva trong tam giác.

Bài tập định lý Ceva Menelaus

Sau đấy là một số bài bác tập vận dụng định lý Ceva để độc giả tự luyện tập.

Bài 1: Cho tam giác ( ABC ) và cha điểm (E,F,M ) trang bị tự trên những cạnh (AC,BC,AB ) làm sao cho (EF || BC ) cùng ( MB=MC ). Chứng tỏ rằng ( CF,BE,AM ) đồng quy.

Bài 2: Cho tam giác ( ABC ) vuông tại ( A ), đường cao ( AK ). Dựng bên phía ngoài tam giác hai hình vuông ( ABEF ) và ( ACGH ). Chứng minh rằng ( AK,BG,CE ) đồng quy.

Bài 3: mang đến tam giác ( ABC ). điện thoại tư vấn ( M,N,P ) lần lượt là trung điểm ( BC,CA,AB ). điện thoại tư vấn ( X,Y,Z ) là bố điểm bất cứ nằm trên ( BC,CA,AB ) làm sao cho ( AX,BY,CZ ) đồng quy.Gọi ( D,E,F ) theo lần lượt là trung điểm ( AX,BY,CZ ). Chứng tỏ rằng ( MD,NE,PF ) đồng quy.

Bài 4: đến tam giác ( ABC ) và mặt đường tròn tâm ( I ) nội tiếp tam giác xúc tiếp với những cạnh ( BC,CA,AB ) theo lần lượt tại ( D,E,F ). Hotline ( D’,E’,F’) lần lượt là điểm đối xứng của ( D,E,F ) qua ( I ). Chứng tỏ ( AD’,BE’,CF’ ) đồng quy.

Bài 5: đến tam giác ( ABC ). Đường tròn ( (O) ) cắt cạnh ( BC) trên ( X,Y); giảm cạnh ( CA) trên ( Z,T); cắt cạnh ( AB) trên (U,V) sao để cho ( XYZTUV ) là các đỉnh của một lục giác lồi. Lấy các giao điểm ( XT cap YU=A’;ZVcap TX=B’;UYcap VZ=C’ ). Chứng minh rằng ( AA’,BB’ với CC’ ) đồng quy.

Bài viết trên đây của kftvietnam.com đã giúp bạn tổng hợp định hướng và ứng dụng của định lý Ceva trong số bài toán. Hy vọng những kiến thức trong nội dung bài viết sẽ giúp ích cho chính mình trong quá trình học tập và phân tích chủ đề định lý Ceva. Chúc bạn luôn luôn học tốt!